“小数的认识”教材解读与教学建议-500道小数除法题带答案

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小数的初步认识是学生对数的认识的一次重要拓展，它是在学生认识了万以内的数，会计算三位数的加减法，初步认识了分数，会计算简单的同分母分数加减法，并且学习了常用计量单位的基础上进行学习的，学习这部分内容，既可以在实际生活中应用，又能为今后系统地学习小数打下初步基础。

与整数相比，小学生对小数的接触相对要少一些，在这方面的生活经验也不太多，所以，他们学习小数的概念要比整数相对困难一些，为了降低学习的难度，让学生能较好地理解小数的意义，人教版教材将小数的学习分两个年级安排，三年级学习小数的初步认识，教材中出现的这些小数的小数部分只有1至2位，小数的计算也只涉及一位小数和两位小数的加减，在四年级下学期，学生开始用两个单元系统地学习小数的知识，这样编排，既符合数学学科自身的知识体系(小数的认识是建立在分数的初步认识基础之上的，分数的初步认识已经在三上学过了)，又符合学生的认知特点和心理特点，符合新的教学理念，但由于教材在三年级安排小数的初步认识，四年级才安排小数的意义和性质及小数的加、减法，因此在三年级教学时，教师很难把握教学的深度、难度，容易出现超前、超难教学的情况，怎样才能把握好这个度呢?笔者提出以下几点教学建议。

1　重视数学与生活实际的紧密联系。在具体情境中认识小数

对学生来说，小数虽然相对比较陌生，但它又与现实生活具有密切的联系，在现实生活中有着广泛的应用，学生在生活中能经常遇到应用小数的生活情境，能经常接触到一些小数(如以元为单位的小数形式的商品价格)，依照小学生的认知特点和生活基础，教材改变了以长度单位的换算为切入点的方式，而是利用学生生活实践中最熟悉的商品价格及货币单位的换算导入新课，因此，在课前可让学生搜集生活中有关小数的信息读一读，初步获得对小数的感性认识，在教学过程中，可创设商品交易的情境，引导学生利用认识商品价格进行货与币交换的活动来认识小数，并体验小数在现实生活中的存在价值与作用。

2　注重学生的数学实践活动，充分发挥学生的主体作用

人教版三年级下册第88页上面的插图画了食品商店的一角，从食品单价引入小数和小数点，为了拓展课堂教学的空间，课前可布置学生跟随家长购物，注意观察商品的标价，教学时，可让学生看图试着说出三种商品的价格，学生可能读作几元几角几分，也可能采用小数的读法，教师可采用互教互学的方法，让其他同学跟着学习小数的读法，如火腿肠的价格，当学生说5元9角8分，教师接着问，你是怎么知道的?学生利用已有的经验根据5.98元说出几元几角几分的思考过程；当学生汇报时说火腿肠的价格是5.98元时，就让学生说说是怎样读的。它表示多少钱，目的是使学生理解用小数表示的商品的实际意义，接着由一个学生说出商品的价格，其余学生说商品价格的实际意义并写出商品的价格；教师再引导学生概括出以元为单位的小数的实际含义和小数的读法，在这个过程中。教师仅仅是一个组织者、引导者和参与者，以学生已有的知识和经验出发，放手让学生动口说、动手写、小组议论，参与学习的全过程，能有效地发挥学生自主参与学习的主体作用。

3　运用迁移，促进知识内化。帮助学生建立小数的初步概念

我们知道，小数是十进分数的另一种表现形式，一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，学生已学过分数的初步认识，并在生活中已经获得以元为单位的小数的意义，又学过长度单位米、分米、厘米，有了这些基础，学生就比较容易理解一位、两位小数的具体含义，教材中例l的教学，教师可充分运用学生已有认知结构中的信息背景，设计让学生通过已获得的分数的意义来迁移认识以元为单位的小数，可设计如下教学步骤，

(1从识零点几，发现一位小数和两位小数的意义，教师和学生一起数出10个1角钱即1元，得出1角是1元的十分之一，即1/10元(板书1角=1/10元)，然后提问：你们能发现1/10元和0.1元之间是什么关系吗?2角呢?3角、5角呢?接着多媒体演示：把1米长的直尺平均分成10份，其中的1份是多长?3份呢?用米作单位分别怎么表示呢?学生已有前面的1角=1/10元，2角=2/10元为基础，对于1分米=()/()米=( )米，3分米=()/()米=( )米的问题，尝试独立完成应是顺理成章的事了，接着引导学生从左到右、从右到左观察，像1/10、2/10……这样的十分之几的数可以写成0.1、0.2……这样的小数，反之亦然，也可以用同样的教学方法认识两位小数所表示的意义。

(2)认识几点几的小数，教学时，可以让学生报出自己的身高是1米多少厘米(如王东的身高是1米30厘米)。并提出问题：只用米做单位。该怎样表示?接下去让学生先看书再组织讨论，先讨论把1米平均分成100份，每份是多少?30厘米用分数怎样表示?用小数怎样表示?接着讨论1米30厘米用小数怎样表示?然后出示一组练习：2元3角8分、1米6厘米、1米25厘米，让学生用小数表示出来；最后引导学生发现整元数或整米数，应写在用元或米做单位的小数点的左边，反之则写在小数点的右边。

在教学过程中，教师要十分注意让学生参与观察、分析、对比的学习活动，如引导学生观察一组小数的相同点和不同点，并根据小数的特点进行分类，渗透数学思想方法的教育，有利于帮助学生建立一位小数和两位小数的概念。

4　让学生多角度、多方向、多层次地思考问题，掌握一位小数、两住小数大小的比较方法

教材中的例2教学小数的大小比较，给出了四位同学参加跳高比赛的成绩，都是以米为单位的小数，要求学生根据这些成绩排出他们的名次，学生一般都有参加跳高的经历，都知道表示跳高成绩的小数越大，成绩就越好，教学时，可以采取小组讨论的方式，让学生自己寻找比较的方法，通过交流，相互启发，得出多种比较的方法，一种是根据以米为单位的小数的具体含义来比较，另一种是化成厘米来比较，还有一种利用卷尺。根据四个成绩在卷尺上的位置来比较大小，除了课本插图提示的几种方法之外，教师可引导学生把整数比大小的方法迁移到小数中来，直接比较小数的大小。

5　重视整数加减法的算理和算法在小数加减法中的迁移，引导学生探究简单的小数加减法

由于小数与整数在计数方式、相邻计数单位间的进率等方面有很多相近或相同的地方，所以整数加减法的算理、算法对小数加减法也完全适用，教材例4创设的问题情境具有一定的开放性，教学时，先让学生看图提出很多小数加减计算的问题，再充分利用学生已有的认知经验，沟通整数加减法与小数加减法的联系，然后让学生自主探究，尝试计算，得出结论，总结出简单小数加减的计算方法。

(责任编辑　徐　旺)

解析几何、复数、立体几何

知识点整理-------老刘祝大家周末愉快！别忘记好好做周末卷哦！

一、直线和圆

1. 直线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围；

直线方向向量的意义(a =λ(1,k ) 或λ(0,1)(λ≠0) ) 及其直线方程的向量式

((x -x 0, y -y 0) =λa (a 为直线的方向向量)).

应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时，一般可设直线的斜率为k ，但你是否注意到直线垂直于x 轴时，即斜率k 不存在的情况？

2. 知直线纵截距b ，常设其方程为y =kx +b 或x =0；知直线横截距x 0，常设其方程为x =m y +x 0(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数) 或y =0. 知直线过点(x 0, y 0) ，常设其方程为y =k (x -x 0) +y 0或x =x 0.

注意：

(1)直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式、点方向式、点法向式．以及各种形式的局限性. （如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截矩式呢？） ★ 好用的直线系：与直线l :Ax +By +C =0平行的直线可表示为Ax +By +C 1=0；与直线l :Ax +By +C =0垂直的直线可表示为Bx -Ay +C 1=0；过点P (x 0, y 0) 与直线l :Ax +By +C =0平行的直线可表示为：

A (x -x 0) +B (y -y 0) =0；

过点P (x 0, y 0) 与直线l :Ax +By +C =0垂直的直线可表示为：

B (x -x 0) -A (y -y 0) =0.

(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.

直线两截距相等?直线的斜率为-1或直线过原点；

直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等?直线的斜率为±1或直线过原点.

(3)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.

3. 相交两直线的夹角：夹角特指相交两直线所成的较小角，范围是(0,]，

2夹角公式tan θ=|

k 1-k 21+k 1k 2

|=|

A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2

|，

点到直线的距离公式d =.

特别：l 1⊥l 2?k 1k 2=-1(k 1、k 2都存在时) ?A 1A 2+B 1B 2=0；

l 1//l 2?

=k A B =A B

； (k 、k 都存在时) ?{{b k ≠b A C ≠A C

A B =A B k =k

l 、l 重合?{(k 、k 都存在时) ?{b =b A C =A C 或B C

=B 2C 1

5. 圆的方程：最简方程x 2+y 2=R 2；标准方程(x -a ) 2+(y -b ) 2=R 2；

一般式方程x 2+y 2+D x +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0) ；参数方程

{

x =R cos θ

(θ为参数) ；

y =R sin θ

直径式方程(x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1) (y -y 2) =0.

注意：

(1)

在圆的一般式方程中，圆心坐标和半径分别是(-, -), R =22(2)圆的参数方程为“三角换元”提供了样板，常用三角换元有：

x +y =1→x =cos θ, y =sin θ，

x +y =2→x =

θ, y =θ

，

x +y ≤1→x =r cos θ, y =r sin θ(0≤r ≤1) ，

x +y ≤

2→x =r cos θ, y =r sin θ(0≤r ≤

6. 解决直线与圆的关系问题有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解，重要的是发挥“圆的平面几何性质(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等) 的作用! ”

(1)过圆x 2+y 2=R 2上一点P (x 0, y 0) 圆的切线方程是：xx 0+yy 0=R 2，过圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=R 2上一点P (x 0, y 0) 圆的切线方程是：

(x -a )(x 0-a ) +(y -a )(y 0-a ) =R ，

过圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0) 上一点P (x 0, y 0) 圆的切线方程是：

xx 0+yy 0+D (x +x 0) +E (y +y 0) +F =0.

如果点P (x 0, y 0) 在圆外，那么上述直线方程表示过点P 两切线上两切点的“切点弦”方程.

如果点P (x 0, y 0) 在圆内，那么上述直线方程表示与圆相离且垂直于O 1P (O 1为圆心) 的直线方程，|O 1P |?d =R 2(d 为圆心O 1到直线的距离).

7. 曲线C 1:f (x , y ) =0与C 2:g (x , y ) =0的交点坐标?方程组

{g f ((x x , , y y ) ) ==00的解；

过两圆C 1:f (x , y ) =0、C 2:g (x , y ) =0交点的圆(公共弦) 系为f (x , y ) +λg (x , y ) =0，当且仅当无平方项时，f (x , y ) +λg (x , y ) =0为两圆公共弦所在直线方程.

二、圆锥曲线

1. 椭圆、双曲线、抛物线

2. 圆锥曲线的几何性质：圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、. 重视“特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其‘顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质’”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点. 注意：等轴双曲线的意义和性质.

3. 在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解. 特别是：

①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必“判别式≥0”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必须先有“判别式≥0”.

②直线与抛物线(相交不一定交于两点) 、双曲线位置关系(相交的四种情况) 的特殊性，应谨慎处理.

③在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度(弦长) ”问题关键是长度(弦长) 公式

(|AB |=|AB |=

|x 2-x 2|=

|a |

|AB |=y 1-y 2|=

|a |

④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率”为桥梁转化. （共线）

4. 要重视常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直接法、代入法、参数法、交轨法、向量法等), 以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质(定义法、几何法、代数

法、方程函数思想、数形结合思想、分类讨论思想和等价转化思想等) ，这是解析几何的两类基本问题，也是解析几何的基本出发点.

注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化.

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份) 、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

三、复数

1、i 的周期性：

i 4=1，所以，i 4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n n ∈Z )

4n +1

4n +2

4n +3

=0(n ∈Z )

2、复数的代数形式：a +b i (a , b ∈R )，a 叫实部，b 叫虚部，实部和虚部都是实数。

C ={a +bi |a , b ∈R }叫做复数集。N Z Q R C.

3、复数相等：a +bi =c +di ?a =c 且b=d；a +bi =0?a =0且b=0

?实数 (b=0)

4、复数的分类：复数Z =a +bi ?一般虚数(b≠0, a ≠0)

?虚数 (b≠0) ?

?纯虚数(b≠0, a =0) ?

虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是3+i , 6+2i 也没有大小。 5、复数的模：若向量OZ 表示复数z ，则称OZ 的模r 为复数z 的模，

z =|a +bi |=

z 1z 2

；

积或商的模可利用模的性质（1）z 1? z n =z 1?z 2 z n ，（2）6、复数的几何意义：

≠0)

7其中x 轴叫做实轴，

y 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

8、复数代数形式的加减运算

复数z 1与z 2的和：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d ) i . (a , b , c , d ∈R ) 复数z 1与z 2的差：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d ) i . (a , b , c , d ∈R ) 复数的加法运算满足交换律和结合律

数加法的几何意义：复数z 1=a +bi ，z 2=c +di (a , b , c , d ∈R )；OZ = OZ 1+OZ

=(a ，b )+(c ，

d )=(a +c ，b +d ) ＝(a +c )+(b +d ) i

复数减法的几何意义：复数z 1-z 2的差(a －c )+(b －d ) i Z 2Z 1=OZ 1-OZ 2，两个

复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.

= zB －z A . ，z =AB =z 9. 特别地，z -z A 为两点间的距离。 B A B AB

|z -z 1|=|z -z 2|z 对应的点的轨迹是线段Z 1Z 2的垂直平分线；|z -z 0|=r ， z对应的点的

轨迹是一个圆；|z -z 1|+|z -z 2|=2a (Z 1Z 2

|z -z 1|-|z -z 2|=2a (Z 1Z 2>2a )， z对应的点的轨迹是双曲线。

z 1-z 2≤z 1±z 2≤z 1+z 2

10、显然有公式：

z 1+z 2

+z 1-z 2

=2z 1

(

+z 2

)

11、复数的乘除法运算：

复数的乘法：z 1z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad ) i . (a , b , c , d ∈R ) 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。

实数集R 中正整数指数的运算律, 在复数集C 中仍然成立. 即对z ,z ,z ∈C 及m,n ∈N 有:

123m n m+nm n mn n n n z z =z, (z) =z, (zz ) =zz .

1212复数的除法：

z 1z 2

=(a+bi)÷(c+di)=

a +bi c +di

ac +bd c +d

bc -ad c +d

i (a , b , c , d ∈R )，分母实

数化是常规方法

12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；

z =a +bi , z =a -bi (a , b ∈R )，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称

。z =|z |=

z ?z =a +b ∈R , z ?z =z

=z ，z 1±z 2=z 1±z 2, z 1?z 2=z 1?z 2,

1+i 1-i

?z 1?z 1

= ?z ?2?z 2

1-i 1+i

=-i

13、熟记常用算式：=-i ，(1+i ) =2i ，(1-i ) =-2i ，

=i ，

14、复数的代数式运算技巧：

1+i

（1）①

(1+i ) =2i

②

(1-i ) =-2i

③1-i

1-i

④1+i

=-i

ω=-

（2）“1”的立方根

的性质：

ω+

1=-1

1=ω

①ω=1 ②ω

=ω ③1+ω+ω

=0 ④

⑤ω

15、实系数一元二次方程的根问题：

（1）当?=b 2-4ac ≥0时，方程有两个实根 x 1, x 2。

（2）当?=b 2-4ac

此时有 x 1

=x 2=x 1x 2=

c a

且x 1, 2=

-b ±

-?i

。

注意两种题型：(1)x 1-x 2 (2)x 1+x 2

四、直线、平面、简单多面体（后面的一并给你）

1. 计算异面直线所成角

2. 计算直线与平面所成的角 3. 计算二面角的大小主要有：定义法(先作其平面角后计算大小) 、公式法(cos θ=

S 影S 原

) 、

向量法(两平面法向量的夹角) 、

等价转换法等等. 二面角平面角的主要作法有：定义法(取点、作垂、构角) 、三垂线法(两垂一连，关键是第一垂(过二面角一个面内一点，作另一个面的垂线)) 、垂面法.

4. 计算空间距离的主要方法有：定义法(先作垂线段后计算) 、等积法、转换法(平行换点、换面) 等.

5. 空间平行垂直关系的证明，主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行，模式是：线线关系

线面关系

面面关系，请重视线面平行关系、线面垂直关系(三垂线定理

及其逆定理) 的桥梁作用. 注意：书写证明过程需规范.

特别声明：①证明计算过程中，若有“中点”等特殊点线，则常借助于“中位线、重心”等知识转化.

②在证明计算过程中常将运用转化思想，将具体问题转化 (构造) 为特殊几何体(如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等) 中问题，并获得去解决. ③如果根据已知条件，在几何体中有“三条直线两两垂直”，那么往往以此为基础，建立空间直角坐标系，并运用空间向量解决问题.

6. 直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质.

如长方体中：对

角线长l =

，棱长总和为4(a +b +c ) ，全(表) 面积为

2(ab +bc +ca ) ，(结合(a +b +c ) =a +b +c +2ab +2bc +2ca 可得关于他们的等量

关系，结合基本不等式还可建立关于他们的不等关系式) ，cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2(1)；如三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) ?顶点在底上射影为底面外心，侧棱两两垂直(两对对棱垂直) ?顶点在底上射影为底面垂心，斜高长相等(侧面与底面所成相等) 且顶点在底上在底面内?顶点在底上射影为底面内心.

如正四面体和正方体中：

arccos

7. 求几何体体积的常规方法是：公式法、割补法、等积(转换) 法、比例(性质转换) 法等. 注意：补形：三棱锥?三棱柱?平行六面体分割：三棱柱中三棱锥、四三棱锥、三棱柱的体积关系是 .

8. 多面体是由若干个多边形围成的几何体．棱柱和棱锥是特殊的多面体．

正多面体的每个面都是相同边数的正多边形，以每个顶点为其一端都有相同数目的棱，这样的多面体只有五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．关于多面体的概念间有如下关系：

{多面体} ≠ {简单多面体} ≠ {凸多面体} ≠ {正多面体}；

{凸多面体} ≠ {棱柱} ≠ {直棱柱} ≠ {正棱柱} ≠ {正方体}；

? {凸多面体} ≠ {棱锥} ≠ {正棱锥} ≠ {正四面体}．

欧拉公式(V ＋F 一E ＝2) 是简单多面体的重要性质，在运用过程中应重视“各面的边数总和等于各顶点出发的棱数总和、等于多面体棱数的两倍”．“简单多面体各面的内角总和是(V -2) ×3600”.

过一个顶点有n 条棱，每个面是m 边形的一般方法是什么？

看看-----很有趣！如果让你画，你能画出来吗？

10．球是一种常见的简单几何体．球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小．球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点．球面是到球心的距离等于定长(半径) 的点的集合．球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面．球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长，计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件，先寻求球面上两点间的弦长”，因为此弦长既是球面上两点间的弦长，又是大圆上两点间的弦长．注：“经度是‘小小半径所成角’，纬度是‘大小半径的夹角’”.

球体积公式V =

πR ，球表面积公式S =4πR ，是两个关于球的几何度量公式．它们

都是球半径及的函数．解决球的相关问题务必注意球的几何性质(尤其是“球的半径、球心截面距、小圆半径构成直角三角形”；球与多面体相切或相接时，组合体的特殊关联关系).

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