符号意识是形成抽象能力及什么的经验基础

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一、符号意识是什么？

符号意识是《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的第二个核心概念。2011版课标，将原来的“符号感”改为了“符号意识”，其意义与课程目标的价值取向和数学符号的本质意义要求更加吻合。同时，根据2022版新课标，对符号意义的定义是指能够感悟符号的数学功能，符号意识是形成抽象能力和推理能力的经验基础。对小学阶段学生有以下几点要求：

1）知道符号表达的现实意义；

2）能够初步运用符号表示数量、关系和一般规律；

3）知道用符号表达的运算规律和推理结论具有一般性；

4）初步体会符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式。

因此可见，符号意识的内涵是代数思想，符号是数学抽象的特殊表征形式，不仅在代数领域如此，而且在几何领域也是如此。

二、小学数学符号意识到底学什么？

大小符号：学习比较大小时，学生需认识“>”，“<”和“=”，并知道其读法和作用，初步感知符号在数学中的功能和文字的不可替代作用。

运算符号：在加减乘除法四则运算学习当中，孩子需要理解并学习运用“+”、“-”、“×”和“÷”。

公式符号：学习乘法时，会引入速度公式，孩子也需要学习速度、时间、路程的符号表示。

单位符号：学习单位用字母符号来表示。比如：长度单位（km,m,dm,cm,mm），面积单位（面积单位：k㎡,㎡,d㎡,c㎡,m㎡,h㎡），容积单位（L,mL），质量单位（t,kg,g）等等。

几何符号：用字母表示图形或立方体的面积、周长或体积，比如三角形面积S=1/2(ah)，平行四边形面积S=ah，长方形周长面积C=2（a+b），长方体体积公式V=abh=Sh等等。

分数符号：体会用不同的符号来表示分数对分数计算产生的重大影响，从而进一步体会用简明的符号来表示数的重要性。

角度符号：学习角的度量，学会角的符号表示。比如，三角形ABC用符号表示角∠A、∠B、∠C。

三、作为家长和老师，应该如何培养孩子的符号意识呢？

（1）引导学生理解符号的内涵，理解符号正确传递的信息

如果学生没有正确领会符号的内涵及真正意义，很难将其恰当地运用到题目的运算当中去。所以在孩子们刚接触符号时，就需要帮助孩子辨析及明确符号的意义，讲清楚由来、作用及使用方法。而当孩子真正掌握了这些数学术语及符号内涵，便能快速且准确地理解题意，解决问题。

（2）在解答例题中感受数学，体会数学符号作用

比如这样一道“用字母表示数”的例题：小红1岁，爸爸比她大30岁，怎么表示爸爸的年龄？

大多数孩子能顺利回答，但随着小红的年龄不断增加，就需要不断更新答案，这时便可以引入数学符号的概念，培养学生的符号意识。根据年龄差不变的特点，可以用字母表示小红的年龄，那么爸爸的年龄可以是a+30、x+30、y+30。孩子顿感轻松，也能切身感受到数学符号的价值，体验到数学符号具有的简练、清晰的特点，从而也更加喜欢用数学符号去学习数学，提高了学生的数学符号意识。

（3）在实际应用场景中，运用数学符号的使用

比如超市场景，收银员需要计算顾客消费的总金额，所以我们需要用到“＋”进行加法运算得到总合。如果号顾客付了一百块，我们需要根据金额找零，我们则需要用到“-”来计算除去物品金额还剩余多少钱。多多结合生活场景，让孩子在具体情境中运用符号去解决问题，能够有效地加深他们对符号意义的理解，准确地选择数学符号，从而更加快速地解决数学问题。

符号意识——10个核心概念之二

数学是人类的一种文化, 它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分，数学为其他学科提供了语言、思想和方法, 是一切重大技术发展的基础，教师应激发学生的学习积极性, 向学生提供充分从事数学活动的机会, 帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法, 获得广泛的数学活动经验。

一、符号化思想的发展

数学发展到今天,已成为一个符号化的世界。符号就是数学存在的具体化身。英国著名数学家罗素说过: “什么是数学? 数学就是符加逻辑。 ”数学离不开符号,数学处处要用到符号。怀特海曾说:“只要细细分析,即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来的极大方便,甚至是必不可少的。 ”数学符号除了用来表述外,它也有助于思维的发展。如果说数学是思维的体操,那么,数学符号的组合谱成了“体操进行曲”。

西方较早地在数学研究中引进了符号，十六世纪数学家韦达对数学符号作了很多改进，并且第一个有意识地系统地用字母表示数，带来了代数学研究的重大拓展，奠定了符号代数的基础，后来大数学家笛卡儿对韦达使用的字母又作了改进。用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。

二、符号化思想在小学数学教材中的体现

1、在教学中引入数学符号。

现行小学数学教材中也十分注意符号化思想的渗透。例如引入了一些字母：a 、 b 、 c …；数的运算符号： ＋ , － , ×，÷等；关系符号 : =, ≈ , >, <, ≠等，以及体现运算等级的结合符号( ) 、 [ ] 、 { }等；这些符号的引入也不是说是杂乱无章、漫无目的的,它们是根据小学生的年龄、思维特点按照一定顺序、符合一定的逻辑、有步骤的引入的。符号化思想的渗透在小学数学教材中是根据不同的教学阶段的具体情况进行的。主要是从如下几方面有计划、有步骤的渗透的。例如, 初入学儿童在学习 1--5 的认识时, 教材并没有直接呈现 1 到 5 这些数字, 而是通过实物、, 在具体情境中数出 1头象, 2头犀牛, 3只长颈鹿、4朵云……, 然后呈现数字, 这样使学生能够很清楚地知道这些数所表示的意义, 而不是凭空产生的。这对于初入学的儿童的学习是非常有利的, 它能让学生充分认识到数学符号所表示的意义, 为学生以后学习数学奠定了基础。这就是新课标下的小学数学教材在处理符号在教材中渗透的一个亮点。

2.变元的思想

变元思想是根据小学生的年龄特点和知识水平，采取不同的形式进行渗透的，旨在让学生逐步了解变元的思想。例如，例如教材从一年级就开始用“口”或“( )”代替变量X,让学生在其中填数。例如:l+2=口,6+( )=8,再如:学校有7个球,又买来4个。现在有多少个?再如让学生在口中填上合适的数。例如：

9-□＞4 8＜16-□

12＞3+□ 8+□＜25

6＜14-□ 10+□＜32

诚然，这样的题目我们老师只要求小学生在“方格中”填进一个合适的数，但我们必须明白，如果把“□”换成“x”，那么，上述的算式是不等式，变元x有确定的取值范围。我们应当明白编教科书的意图，符号“□”在这里只起着“位置占有者”的作用。目的是引导学生去思考问题，解决一些有趣的问题，借此，发展学生的思维能力。

3、用符号代表数

到小学四年级, 在“简易方程”这一部分内容向学生提出用字母表示数，引入了用字母表示数的思想。它的实质是一种抽象化，其目的是为了更深刻地探索、揭示数学规律，达到更准确、更简洁地表达数学规律，在较大范围内肯定数学规律的正确性。这部分内容关键是要让学生理解用字母表示数的思想。在数学语言中，像数字以及表示数字的字母，都是用数学语言刻画各种现实问题的基础。用具体的数和运算符号所组成的式子只能表示个别具体的数量之间的关系，而用字母表示，既简单明了，又能概括出数量关系的一般规律，在较大范围内肯定了数学规律的正确性。使学生明白用字母表示数的好处,然后帮助学生实现观点的转变,理解字母的抽象化、一般化的特点,为以后列方程解应用题打下扎实的基础符号思想在小学数学内容中随处可见,教师要有意识地进行渗透。在数学中各种数量之间的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都可以用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息，如乘法分配律(a＋b)×c＝a×c＋b×c，这里的a、b、c不仅可以表示1、2、3……等这些整数，也可以表示小数或者分数，另外在乘法交换律和结合律时也运用了字母表达式。显然,它比用具体的数表示更加概括、明确, 比用日常语言表示更加简明、易记。再如长方形的面积计算公式s＝a×b，不管是什么样的长方形，都可用它计算出来。

4、列方程解应用题

用方程来解应用题, 解法本身蕴含着符号化思想, 它主要体现在如下几个方面:( 1) 代数假设, 用字母代替未知数, 与已知数平等地参与运算;( 2) 代数翻译, 把题中的自然语言表述的已知条件, 译成用符号化语言表述的方程。( 3) 解代数方程。把字母看成已知数, 并进行四则运算, 进而达到求解的目的。例如,应用题“ 四一班有60人, 是四年级总人数的 20%, 求四年级共有多少人? ”解决这道题时,首先就应该进行代数假设, 用字母 x 代替四年级总人数, 这就是用字母代替未知数, 与已知数平等的参与运算; 其次, 把题中的自然语言表达的已知条件, 译成用符号化语言表述的方程 x×20%=60。最后, 把字母看成已知数进行四则运算, 达到求解的目的。整个分析, 解题过程, 都涉及到了用字母代表数, 变元思想等等, 可以说是符号化思想在数学中的集中体现, 对学生理解数学符号化思想及其意义都有重要价值。上例所分析的这些都是符号思想的具体体现，通过以上各阶段的逐步过渡, 学生将逐步领会用字母表示数的优越性, 符号化思想也逐渐地初步形成。把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆，便于运用，正如华罗庚所说的“数学的特点是抽象，正因为如此，用符号表示就更具有广泛的应用性与优越性”。这种用符号来体现的数学语言是世界性语言，是一个人数学素养的综合反映。

三、符号化思想在小学数学教学中的渗透

符号化思想作为数学基本的、广泛应用的思想，我们无时无刻不在与它们打交道，在教学中要如何渗透符号化思想呢？

1、让学生正确理解与使用数学符号。在实际教学中, 学生使用这些数学符号时, 往往会出现一些错误。例如: 求解15 比 9 多几?小学生由于对加法的意义不理解, 往往看“ 多”就用“ +”, 看 “少”就用“ - ”。就列式为“ 15+9”。又如文字题“ 一个数的 5 倍少 3 是 53, 求这个数是多少? ”学生往往看见倍就用 “×”, 看 少就用“ - ”, 误列式为“( 53- 3) ×5”。像这样的例子, 教师在教学中注意让学生正确理解符号的内涵,理解使用符号所表示的概念。

2、把培养符号意识落实到课堂教学目标中，教师在每堂课的教学设计中，要明确符 号的具体应用，纳入教学目标中。创设合适的情境，引导学生在探索中归纳和理解符号化的模型。

3、在渗透符号思想的过程中要多启发、多引导, 引起学生自主建构。例如: 50. □<52.6, 学生在方框里填上一个数很容易,但教师要明白, 若将方框里填上 x 就变成一元一次不等式。因此, 教师应引导学生继续思考: 方框内最多可以填几个数?这种思考能使学生初步了解变元思想。

符号思想的培养是一个长期的过程，符号思想的培养应贯穿于数学学习的整个过程中，学生要理解和掌握数学符号的内涵和思想，并通过一定的训练，才能利用符号进行比较熟练地运算、推理和解决问题。把客观存在的事物和现象及它们相互之间的关系抽象概括为数学符号和公式，有一个从具体到表象再抽象符号化的过程，小学生在数学学习中，从接受到运用会遇到较多的困难，需要教师在平时地教学中，从介绍字母使用的历史入手，循循善诱，加强培养和训练。

四、教学中渗透符号化思想的意义

符号化思想在小学数学内容中随处可见，数学符号是抽象的结晶与基础，如果不了解其含义与功能，它如同“天书”一样令人望而生畏。因此，教师在教学中要注意学生的可接受性。渗透数学思想方法旨在使学生的数学思维经历从形象思维到抽象思维再到逻辑思维的发展过程，实现其质的变化，要让学生沿着“抽象”和“应用”两个方面进行渗透，将已学的思想方法转化为自己头脑中牢固的认知结构，并能在不断的归属同化中得以发展，提高学生运用数学思想方法解决实际问题的能力。所以，教学中教师要鼓励学生运用易学的数学思想方法去发现、分析和解决生活中的实际问题引导学生加以抽象、概括，建立数学模型，探求解决问题的一般方法，培养学生自学的应用意识。数学思想方法是在启发学生思维过程中逐渐积累和形成的思想方法对认知活动起着监控调节作用，对培养能力起着决定性的作用向学生渗透一些基本的数学思想方法，提高学生的认知水平，是培养学生分析问题和解决问题能力的重要途径同时要注意渗透的长期性，这种渗透往往要经历一个循环往复螺旋上升的过程。

总之，把一些抽象的数学思想方法逐渐“融进”具体的数学知识内容之中，有意识的将数学方法，数学思想在学生的学习思考中潜移默化的领会，使学生对这些思想有一些初步的感知或直觉。我们小学数学教师只有重视对数学思想方法的学习研究和有效地运用，探讨其教学规律，才能适应课程教学改革需要。

符号对于数学来说是特有的。它既是数学的语言，也是数学的工具，更是数学的方法。

学生在数学学习过程中，将无时无刻不与符号打交道，对数学符号的语言、工具、方法的功能和上述特性的认识事实上构成了学生数学学习的重要内容，学生掌握数学符号、运用数学符号能力的培养，也成为重要的教学目标。

《数学课程标准（2011年版）》中，将原来的“符号感”改为了“符号意识”，两个称谓就其英文表述来看，没有变化，而中文表述将感改为意识，应该说其意义与课程目标的价值取向和数学符号的本质意义要求更加吻合。在数学学习中，无论是概念命题学习还是问题解决，都涉及用符号去表征数学对象，并用符号去进行推理运算，得到一般性的结论。在这个过程中，数学符号对于学习者来说，主要的还不是潜意识、直觉或感觉，而是一种主动的使用符号的心理倾向。所以用“意识”更准确些。

符号意识所包含的内容有：

1.能够理解并运用符号表示数、数量关系和变化规律。

2.知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。

3.使学生理解符号的使用使数学表达和进行数学思考的重要形式。

学生符号意识的培养：

1.在各学段紧密结合概念、命题、公式的教学，培养学生的符号意识。

2.结合现实情境培养学生的符号意识。

3.在数学问题解决过程中发展学生的符号意识。

例如在解决三角形相似的有关问题时，晓雅同学就巧妙地借助符号表示出各边的长度，既节省了过程和步骤，又使得思路清晰而明确。

还有一些题目，需要引入两个符号，找到它们之间的关系，综合运用所学知识来解决问题。如下图：

符号意识更多的表现为以学生为主体的一种主动用符号的意思，因此符号意识的培养，仅靠一些单纯的符号推演训练和模仿记忆，是难以达到应有的效果的，引导学生经历发现问题提出问题（这实际上需要运用符号抽象和表达问题）、分析问题解决问题（这实际上是使用符号进行运算推理和数学思考）的全过程，在这一过程中积累运用符号的数学活动经验，更好的感悟符号所蕴含的数学思想本质。逐步促进学生符号意识得到提高。

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