六年级相遇问题奥数题例题带答案解析

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1、甲乙丙三人和修一围墙,甲乙合修了5天完成了3分之1,乙丙合修2天完成了余下的4分之1,然后甲丙两人合修5天才完成.整个工程劳动报酬600元,问乙应分多少钱.

甲乙共做了1/3，甲乙的工效和是1/3除以5，得1/15；

乙丙共做了（1－1/3）*1/4＝1/6；乙丙的工效和是1/6除以2，得1/12；

甲丙共做了（1－1/3－1/6）＝1/2；甲丙的工效和是1/2除以5，得1/10；

将上面三组工效和相加，就得到2（甲+乙+丙）的工效和，即（1/15+1/12+1/10）＝1/4；再除以2，就得到甲乙丙的工效和，即1/4除以2，得1/8。

因为甲丙的工作效率和是1/10，所以用甲乙丙三个人的工效和减去甲丙的工效和，就是乙的工作效率，即（1/8-1/10）＝1/40。

因为乙一共做了（5+2）天，乘以工效1/40，得7/40，说明乙完成了全部工程的7/40，这份工作的总金额是600元的话，乙应获得600的7/40，用600*7/40＝105元。

2、三年一班共有学生49人，其中男生比女生多3人，男生、女生各有多少人？

3、图书馆的书架上、下层共存书230本，如果从下层拿出15本放入上层，两层书架上书的本数就同样多，上、下层原来各有书多少本？

1.同学们去参加野营活动．一个同学去领碗，老师问他领几个，他说55个，老师有问多少人要碗？他回答1人一个饭碗，2个一个菜碗，3人一个汤碗？请你算算有多少个同学领碗？

答案：30个

想1人一个饭碗，2个一个菜碗，3人一个汤碗，那么同分以后就是6人就用11个碗，5个11就是55人，就是30人．

2.100名学生参加考试，答对第一题的学生有81名，答对第二题的学生有91名，答对第三题的学生有85名，答对第四题的学生79名，答对第五题的学生74名，答对三道题以上的算合格，问：合格的一共是多少人？

答案没有把握

答对:81 91 85 79 74

答错:19 9 15 21 26

{81+91+85+79+74}除以3＝答案

3.在静水中,甲船的速度是每小时19千米,乙船的速度是每小时23千米:水流速度是每小时4千米,甲船开出港口顺水航行2小时后,乙同向开出,问乙船多少小时后可以追上甲船?

答案：甲开出2小时的行程是：2*（19+4）=46千米

乙追上的时间是：46/（23-19）=11。5小时

回答者：429623319 - 试用期 一级 11-30 18:31

1、甲乙丙三人和修一围墙,甲乙合修了5天完成了3分之1,乙丙合修2天完成了余下的4分之1,然后甲丙两人合修5天才完成.整个工程劳动报酬600元,问乙应分多少钱.

甲乙共做了1/3，甲乙的工效和是1/3除以5，得1/15；

乙丙共做了（1－1/3）*1/4＝1/6；乙丙的工效和是1/6除以2，得1/12；

甲丙共做了（1－1/3－1/6）＝1/2；甲丙的工效和是1/2除以5，得1/10；

将上面三组工效和相加，就得到2（甲+乙+丙）的工效和，即（1/15+1/12+1/10）＝1/4；再除以2，就得到甲乙丙的工效和，即1/4除以2，得1/8。

因为甲丙的工作效率和是1/10，所以用甲乙丙三个人的工效和减去甲丙的工效和，就是乙的工作效率，即（1/8-1/10）＝1/40。

因为乙一共做了（5+2）天，乘以工效1/40，得7/40，说明乙完成了全部工程的7/40，这份工作的总金额是600元的话，乙应获得600的7/40，用600*7/40＝105元。

2、三年一班共有学生49人，其中男生比女生多3人，男生、女生各有多少人？

3、图书馆的书架上、下层共存书230本，如果从下层拿出15本放入上层，两层书架上书的本数就同样多，上、下层原来各有书多少本？

三座猴山共有500只猴子，第二座山上的猴子只数是 第一座猴山的只数的3/5，第三座猴山上比第二座山上少39只猴子。第三座山有多少只猴？

某小学低年级人数是中、高人数的2/3，中年级是低、高年纪的3/5，高年级比中年级少72人。这所学校共多少人？

1、一次会餐提供三种饮料。餐后统计，三种饮料共用78瓶；平均每2人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料。问，参加会餐的人数是多少人？

小学奥数题应该不用方程的办法求解

平均每人饮用饮料数为:1/2+1/3+1/4=13/12 瓶

参加会餐的人数是:78*12/13=72 人

2、1+2*3+4*5+6*7+……+100*101的和是奇数还是偶数？

奇数

因为1+偶数+偶数+........+偶数=奇数

3、一次数学考试共20道题，规定答对一题得2分，未答不得分，答错倒扣1分，小明得了23分，他未答的题为偶数。问，他答错几题？

三）

这题应属于鸡兔同笼问题了．

1．满分为40分

2．小明仅得23分，少了40－23＝17分

3．每错一题扣一分，即比做对少得3分

每少做一题得0分，即比做对少得2分

4．由于17＜3＊6，所以小明最多错5题

5．以下分为几种可能的情况进一步讨论

假定小明一题未错，则17分都是由于未做造成，但17不是2的倍数，所以这种情况不可能发生．

假定小明做错1题，17－3＝14，则未做14／2＝7题．答案是做对12题，错1题，未做7题，共得23分

假定小明做错2题，17－6＝11，但11不是2的倍数，所以这种情况不可能发生．

假定小明做错3题，17－9＝8，则未做8／2＝4题．答案是做对13题，错3题，未做4题，共得23分

假定小明做错4题，17－12＝5，但5不是2的倍数，所以这种情况不可能发生．

假定小明做错5题，17－15＝2，则未做1题．答案是做对14题，错5题，未做1题，共得23分

所以应该有三种答案

.某商品原售价50元。因销售不畅，10月份降价10％。从11月份开始涨价，12月份的售价为64.8元。求11，12两个月的平均涨价率是多少？

2.果品公司购进苹果5.2万公斤，每公斤进价是0.98元，总计付运费、劳务费等1840元。预计途中损耗1％，如果希望全部进货销售后能获利17％，那么每公斤苹果零售价应当定为多少元？

3.某种商品由于进货价格降低15％，售出价保持不变，使得利润率提高了21％，求现在的利润率。

答案；1.某商品原售价50元。因销售不畅，10月份降价10％。从11月份开始涨价，12月份的售价为64.8元。求11，12两个月的平均涨价率是多少？

10月价格是：50*（1-10%）=45元

64。8/45=1。44

因为：1。2*1。2=1。44，所以平均增长率是：1。2-1=0。2=20%

2.果品公司购进苹果5.2万公斤，每公斤进价是0.98元，总计付运费、劳务费等1840元。预计途中损耗1％，如果希望全部进货销售后能获利17％，那么每公斤苹果零售价应当定为多少元？

解法1

设:每千克苹果定价为x元,则由题意:

(52000*0.98+1840)*(1+17%)=52000(1-1%)x

可以解得:

x=1.2元.

所以应该定价为1.2元每千克

解法(2)

0.98*52000+1840=52800元

52800*(1+17%)=61776元

61776÷[5.2*10000*(1-1%)]=1.2元

每千克苹果的售价应当定为1.2元

3.某种商品由于进货价格降低15％，售出价保持不变，使得利润率提高了21％，求现在的利润率。

设原进价为100，则利润是X，售价是100+X

现在的进价是100*（1-15%）=85，售介相同，则

现在的利润是100+X-85=15+X

利润率是（15+X）/85=X/100+21%

3/17+X/85=X/100+0。21X=19

则现在的利润率是：（15+19）/85=40%

1.同学们去参加野营活动．一个同学去领碗，老师问他领几个，他说55个，老师有问多少人要碗？他回答1人一个饭碗，2个一个菜碗，3人一个汤碗？请你算算有多少个同学领碗？

答案：30个

想1人一个饭碗，2个一个菜碗，3人一个汤碗，那么同分以后就是6人就用11个碗，5个11就是55人，就是30人．

2.100名学生参加考试，答对第一题的学生有81名，答对第二题的学生有91名，答对第三题的学生有85名，答对第四题的学生79名，答对第五题的学生74名，答对三道题以上的算合格，问：合格的一共是多少人？

答案没有把握

答对:81 91 85 79 74

答错:19 9 15 21 26

{81+91+85+79+74}除以3＝答案

3.在静水中,甲船的速度是每小时19千米,乙船的速度是每小时23千米:水流速度是每小时4千米,甲船开出港口顺水航行2小时后,乙同向开出,问乙船多少小时后可以追上甲船?

答案：甲开出2小时的行程是：2*（19+4）=46千米

乙追上的时间是：46/（23-19）=11。5小时

回答者：429623319 - 试用期 一级 11-30 18:31

1、甲乙丙三人和修一围墙,甲乙合修了5天完成了3分之1,乙丙合修2天完成了余下的4分之1,然后甲丙两人合修5天才完成.整个工程劳动报酬600元,问乙应分多少钱.

甲乙共做了1/3，甲乙的工效和是1/3除以5，得1/15；

乙丙共做了（1－1/3）*1/4＝1/6；乙丙的工效和是1/6除以2，得1/12；

甲丙共做了（1－1/3－1/6）＝1/2；甲丙的工效和是1/2除以5，得1/10；

将上面三组工效和相加，就得到2（甲+乙+丙）的工效和，即（1/15+1/12+1/10）＝1/4；再除以2，就得到甲乙丙的工效和，即1/4除以2，得1/8。

因为甲丙的工作效率和是1/10，所以用甲乙丙三个人的工效和减去甲丙的工效和，就是乙的工作效率，即（1/8-1/10）＝1/40。

因为乙一共做了（5+2）天，乘以工效1/40，得7/40，说明乙完成了全部工程的7/40，这份工作的总金额是600元的话，乙应获得600的7/40，用600*7/40＝105元。

2、三年一班共有学生49人，其中男生比女生多3人，男生、女生各有多少人？

3、图书馆的书架上、下层共存书230本，如果从下层拿出15本放入上层，两层书架上书的本数就同样多，上、下层原来各有书多少本？

1.同学们去参加野营活动．一个同学去领碗，老师问他领几个，他说55个，老师有问多少人要碗？他回答1人一个饭碗，2个一个菜碗，3人一个汤碗？请你算算有多少个同学领碗？

答案：30个

想1人一个饭碗，2个一个菜碗，3人一个汤碗，那么同分以后就是6人就用11个碗，5个11就是55人，就是30人．

2.100名学生参加考试，答对第一题的学生有81名，答对第二题的学生有91名，答对第三题的学生有85名，答对第四题的学生79名，答对第五题的学生74名，答对三道题以上的算合格，问：合格的一共是多少人？

答案没有把握

答对:81 91 85 79 74

答错:19 9 15 21 26

{81+91+85+79+74}除以3＝答案

3.在静水中,甲船的速度是每小时19千米,乙船的速度是每小时23千米:水流速度是每小时4千米,甲船开出港口顺水航行2小时后,乙同向开出,问乙船多少小时后可以追上甲船?

答案：甲开出2小时的行程是：2*（19+4）=46千米

乙追上的时间是：46/（23-19）=11。5小时

4、甲乙丙三人和修一围墙,甲乙合修了5天完成了3分之1,乙丙合修2天完成了余下的4分之1,然后甲丙两人合修5天才完成.整个工程劳动报酬600元,问乙应分多少钱.

甲乙共做了1/3，甲乙的工效和是1/3除以5，得1/15；

乙丙共做了（1－1/3）*1/4＝1/6；乙丙的工效和是1/6除以2，得1/12；

甲丙共做了（1－1/3－1/6）＝1/2；甲丙的工效和是1/2除以5，得1/10；

将上面三组工效和相加，就得到2（甲+乙+丙）的工效和，即（1/15+1/12+1/10）＝1/4；再除以2，就得到甲乙丙的工效和，即1/4除以2，得1/8。

因为甲丙的工作效率和是1/10，所以用甲乙丙三个人的工效和减去甲丙的工效和，就是乙的工作效率，即（1/8-1/10）＝1/40。

因为乙一共做了（5+2）天，乘以工效1/40，得7/40，说明乙完成了全部工程的7/40，这份工作的总金额是600元的话，乙应获得600的7/40，用600*7/40＝105元。

5.三年一班共有学生49人，其中男生比女生多3人，男生、女生各有多少人？

6.图书馆的书架上、下层共存书230本，如果从下层拿出15本放入上层，两层书架上书的本数就同样多，上、下层原来各有书多少本？

7.三座猴山共有500只猴子，第二座山上的猴子只数是 第一座猴山的只数的3/5，第三座猴山上比第二座山上少39只猴子。第三座山有多少只猴？

8.某小学低年级人数是中、高人数的2/3，中年级是低、高年纪的3/5，高年级比中年级少72人。这所学校共多少人？

9.书店运来一中儿童故事书，第一天卖了30％，第二天卖的相当于第一天的120％，比第一天多卖30本．书店运来的这种故事书一共有多少本？

第一天卖的：30除{120%-100%}

一共卖的：第一天的除30%

10.学校运动会上，某班女生参加占全班人数的6分之一，参加男生占全班人数4分之一，参加的男生比女生多4人．这个班一共有多少人？

11.一只挂钟的分针｛等于钟的半径｝长20厘米．经过45分钟后，这根分针的尖端所走的路程是多少厘米

12.新光小学六年级有128人，已经达到体育标准的占8分之5．而达标的女生占5分之2，达标的男生占5分之3，男生比女生多30人，男生占六年级总人数的几分之几？

求30道六年级奥数题，急！！！！

1、在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。

2、11112222个棋子排成一个长方阵.每一横行的棋子数比每一竖列的棋子数多1个.这个长方阵每一横行有多少个棋子？

3、甲、乙二人沿铁路相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了8秒钟，离甲后5分钟又遇乙，从乙身边开过，只用了7秒钟，问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲乙二人相遇？

4、小明在7点与8点之间解了一道题，开始时分针与时针正好成一条直线，解完题时两针正好重合，小明解题的起始时间？小明解题共用了多少时间？

5、甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来，售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问：售货员从两个桶里各卖了多少千克油？

6、一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，…，两人如此交替工作，问完成任务时，共用了多少小时？

7、学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中两人各擦4块，其余各擦5块，则余12块；若每人擦6块，则正好擦完，求擦玻璃的人数及玻璃的块数？

8、皮球掉在一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为12厘米，水桶底面直径为 60厘米．皮球有 2/3的体积浸在水中（下图）。问皮球掉进水中后，水桶的水面升高多少厘米？

9、在一个边长为1米的正三角形内随意放置10个点.证明：至少有2个点之间的距离不大于1/3米。

10、某次数学竞赛原定一等奖人数为10人，二等奖人数为20人。现在将一等奖中最后4人调到二等奖，这样得到二等奖的学生平均分提高1分，一等奖得分提高3分。问原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？

解题过程：

1、在在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。（数的整除问题）

分析：设补上数字后的六位数是 。因为这个六位数能分别被3，4，5整除，所以它应满足以下三个条件：

第一，数字和（8+6＋5+a+b+c）是3的倍数。

第二，末两位数字组成的两位数 是4的倍数。

第三，末位数字c是0或5。

解：设要求的六位数为 。根据题意可知： ，且c只能取0或5

又∵能被4整除的数的个位数不可能是5。

∴c只能取0.因而b只能取自0，2，4，6，8中之一。

又∵ ，且（8+6+5）除以3余1，

∴a＋b除以3余2。

为满足题意“数值尽可能小”，只需取a=0，b=2。

∴要求的六位数是865020。

2、11112222个棋子排成一个长方阵.每一横行的棋子数比每一竖列的棋子数多1个.这个长方阵每一横行有多少个棋子？

分析

每一横行棋子数比每一竖列棋子数多1个。

横行数与竖列数应是两个相邻的自然数.

解：11112222=3333×3334

答案为3334。

3、甲、乙二人沿铁路相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了8秒钟，离甲后5分钟又遇乙，从乙身边开过，只用了7秒钟，问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲乙二人相遇？（行程问题）

分析 要求过几分钟甲、乙二人相遇，就必须求出甲、乙二人这时的距离与他们速度的关系，而与此相关联的是火车的运动，只有通过火车的运动才能求出甲、乙二人的距离.火车的运行时间是已知的，因此必须求出其速度，至少应求出它和甲、乙二人的速度的比例关系.由于本问题较难，故分步详解如下：

①求出火车速度V车与甲、乙二人速度V人的关系，设火车车长为l，则：

（i）火车开过甲身边用8秒钟，这个过程为追及问题：故l＝（V车-V人）×8；（1）

（ii）火车开过乙身边用7秒钟，这个过程为相遇问题：故l=（V车+V人）×7.（2）

由（1）、（2）可得：8（V车-V人）＝7（V车+V人），

所以，V车=l5V人。

②火车头遇到甲处与火车头遇到乙处之间的距离是：

（8+5×60）×（V车+V人）=308×16V人=4928V人。

③求火车头遇到乙时甲、乙二人之间的距离。

火车头遇甲后，又经过（8+5×60）秒后，火车头才遇乙，所以，火车头遇到乙时，甲、乙二人之间的距离为：4928V人-2（8＋5×60）V人=4312V人。

④求甲、乙二人过几分钟相遇？

4、小明在7点与8点之间解了一道题，开始时分针与时针正好成一条直线，解完题时两针正好重合，小明解题的起始时间？小明解题共用了多少时间？(钟面行程)

分析 要求小明解题共用了多少时间，必须先求出小明解题开始时是什么时刻，解完题时是什么时刻。

①小明开始解题时的时刻：

因为小明开始解题时，分针与时针正好成一条直线，也就是分针与时针的夹角为180°，此时分针落后时针60×（180÷360）=30（个）格，而7点整时分针落后时针5×7＝35（个）格，因此在这段时间内分针要比时

②小明解题结束时的时刻：

因为小明解题结束时，两针正好重合，那么从7点整到这一时刻分针要

这样小明解题所用的时间就可以求出来了。

解：先求小明开始解题的时刻：

再求小明结束解题的时刻：

5、甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来，售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问：售货员从两个桶里各卖了多少千克油？

分析 解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙两个油桶各装油15千克.售货员卖了14千克”.可以求出甲、乙两个油桶共剩油15×2－14＝16（千克）.又已知“甲、乙两个油桶所剩油”及“这时甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙两个油桶最后有油多少千克.

求出甲、乙两个油桶最后各有油的千克数后，再用倒推法并画图求甲桶往乙桶倒油前甲、乙两桶各有油多少千克，从而求出从两个油桶各卖出多少千克.

解：①甲乙两桶油共剩多少千克？

15×2-14＝16（千克）

②乙桶油剩多少千克？16÷（3＋1）＝4（千克）

③甲桶油剩多少千克？4×3＝12（千克）

用倒推法画图如下：

④从甲桶卖出油多少千克？ 15-11＝4（千克）

⑤从乙桶卖出油多少千克？ 15—5＝10（千克）

答：从甲桶卖出油4千克，从乙桶卖出油10千克.

6、一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，…，两人如此交替工作，问完成任务时，共用了多少小时？（工程问题）

分析 要求共用多少小时？可以设想把这些小时重新分配：甲做1小时，乙做1小时，它们相当于合作1小时，也即是每2小时，相当于合做1小时。这样先大致算一下一共进行了多少个这样的2小时，余下部分问题就好解决了．

7、学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中两人各擦4块，其余各擦5块，则余12块；若每人擦6块，则正好擦完，求擦玻璃的人数及玻璃的块数？（盈亏问题）

解：由其中两人各擦4块、其余各擦5块则余12块，可知，若每人都擦5块，则余12-（5-4）×2=10块，而每人擦6块则正好.可见每人多擦一块可把余下的10块擦完.则擦玻璃人数是[12-（5-4）×2]÷（6-5）=10（人），玻璃的块数是6×10=60（块）。

答：有10人擦玻璃，共有60块玻璃.

8、皮球掉在一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为12厘米，水桶底面直径为 60厘米．皮球有 2/3的体积浸在水中（下图）。问皮球掉进水中后，水桶的水面升高多少厘米？

解：球的体积：

9、在一个边长为1米的正三角形内随意放置10个点.证明：至少有2个。

把正三角形的每条边都三等分并如图连结各点将这个正三角形分割成

至少有2个点落在同一个小三角形内（也可以在边上）.在同一个小正三角形。

10、某次数学竞赛原定一等奖人数为10人，二等奖人数为20人。现在将一等奖中最后4人调到二等奖，这样得到二等奖的学生平均分提高1分，一等奖得分提高3分。问原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？

解：根据题意

前六人平均分=前十人平均分+3.

这说明在计算前十人平均分时，前六人共多出3×6=18（分），来弥补后四人的分数，因此后四人的平均分比前十名平均分少

18÷4=4.5（分）.

当后四人调整为二等奖后，这时二等奖共有20+4=24（人），平均每人提高了

★例1一个学习小组在一次数学测验中，小红得100分，小明得98分，小兰得96分，小平得90分，平均每人多少分？

解（100＋98+96＋90）÷4=96（分）

答：平均每人96分。

解题关键与提示

先求出总成绩和总人数，然后求出平均数。

★例2一辆汽车前2小时每小时行42千米，后3小时每小时行40千米，平均每小时行多少千米？

解（42＋40）÷（2+3）

＝82÷5

=16.4（千米）

答：平均每小时行16.4千米。

解题关键与提示

先求出行的总路程和总时间，然后求出平均数。

★例3某校少先队组织了4个采树种小组，采摘树种支援大西北的绿化。第一天采到15千克，第二天采到20千克，第三天采到19千克。（1）平均每天采到树种多少千克？（2）平均每组采到树种多少千克？（3）平均每组每天采到树种多少千克？

解（1）（15+20+19）÷3=18（千克）

（2）（15+20+19）÷4=13.5（千克）

（3）（15+20+19）÷3÷4=4.5（千克）

答：平均每天采到18干克树种，平均每组采到13.5千克树种，平均每组每天采到4.5千克树种。

解题关键与提示

平均的总数是共采到的树种数，始终不变；按什么“单位”平均，三个问题的要求各不相同：问题（1）要求按“天数”平均；问题（2）要求按“组数”平均；问题（3）要求按“每组每天”平均。

★例4学校食堂第一周烧煤308千克，第二周烧煤313千克，第三周烧煤288千克。若每周按6天计算，这三周内平均每天烧煤多少千克？

解（308＋313＋288）÷（6×3）

＝909÷18

＝50.5（千克）

答：这三周内平均每天烧煤50.5千克。

解题关键与提示

此题先求出三周烧煤总数及烧煤天数，然后再求出平均每天烧煤多少千克。

★★例5少先队五一中队，一次数学测验的结果是：第一小队12人，每人平均95分，第二小队12人，每人平均96分，第三小队13人，每人平均97分，第四小队12人，每人平均90分，这个中队的平均分是多少？（保留一位小数）

解（95×12+96×12+97×13+90×12）÷（12+12＋13＋12）

＝4633÷49

＝94.6（分）

答：这个中队的平均分是94.6分。

解题关键与提示

先求出每个小队的总成绩，再求四个小队的总成绩及总人数，最后求平均分。

★★例6解放军某团一连野营拉练，第一天走了32.5千米，第二天走了34.5千米，第三天比前两天的总和的一半多1.5千米，平均每天走多少千米？

解[32.5＋34.5＋（32.5＋34.5）÷2＋1.5]÷3

=[67＋35]÷3

=34（千米）

答：平均每天走34千米。

解题关键与提示

此题的关键是求第三天走了多少千米。“第三天比前两天的总和的一半多1.5千米”，因此前两天的总和除以2再加上1.5即（32.5＋34.5）÷2＋1.5=35即为第三天走的千米数。

★★★例7某车间三个小组制作一种同样的机器零件，甲组5人做了1000个，乙组6人做的与甲组数量相等，丙组7人做的比甲、乙两组的总和还多50个，平均每人制作多少个？

解（1000×2+1000×2＋50）÷（5＋6＋7）

=4050÷18

=225（个）

答：平均每人制作225个。

解题关键与提示

此题与例6已知条件差不多，不同的是总份数没直接给，把甲、乙、丙三组的人数加起来就是总份数。

★★★例8有五筐苹果，第一至第四筐每筐平均有苹果181个，如果加上第五筐则平均为169个，第五筐有苹果多少个？

解169×5-181×4

=845-724

=121（个）

答：第五筐有苹果121个。

解题关键与提示

此题根据四筐的平均数181个，可求出四筐的总数是181×4=724（个）。又根据五筐的平均数169个，可求出五筐的总数是169×5=845个，最后再用五筐的总数减去四筐的总数就是第五筐的数量。

★例1两个县城相距22千米，甲、乙二人同时从两城出发，相对而行，甲每小时行6千米，乙每小时行5千米，几小时后相遇？

解22÷（6+5）=2（小时）

答：2小时后相遇。

解题关键与提示

此题可用两种方法解，（1）先求出二人每小时速度之和，减去甲每小时的速度，就等于乙每小时的速度。（2）从两城距离中减去甲2小时所行距离，就等于乙2小时所行距离，求每小时行多少干米再除以2即可。

★例2甲、乙二人同时从两个县城相对而行，甲每小时行6千米，乙每小时行5千米，2小时后相遇，两个县城相距多远？

解（6＋5）×2=22（千米）

答：两个县城相距22千米。

解题关键与提示

求两个县城相距多远实际上是求甲、乙二人的距离之和，距离之和=速度之和×相遇时间。

★例3两个县城相距22千米，甲、乙二人同时从两城出发，相对而行，2小时后相遇，甲每小时行6千米，乙每小时行多少千米？

解方法（1）：22÷2-6=5（千米）

方法（2）：（22-6×2）÷2=5（千米）

答：乙每小时行5千米。

解题关键与提示

题中的22千米是两城的距离，是甲、乙二人一共所行的路程，实际上是二人所行的“距离之和”，而甲、乙二人共行（6+5）千米是行进时“速度之和”。求“相遇时间”就是看“距离之和”里包含了几个“速度之和”，就是几小时相遇。

★★例4甲、乙二人同时从a、b两个县城相对而行，甲每小时行6千米，乙每小时行5千米，2小时后二人还相距4千米。两个县城相距多远？

解（6＋5）×2＋4=26（千米）

答：两上县城相距26千米。

解题关键与提示

全程分成了三段：甲走的、乙走的、未走的，三段路程加起来，即得两城间的距离。因此，可先求出二人1小时共走的路程即速度和，再乘以二人行走的时间，这样就成为已走的和未走的两个部分相加了。如下图所示。

★★例5一辆汽车和一辆自行车同时从甲、乙两地相向出发，4小时后两车在途中相遇，甲、乙两地相距240千米，汽车每小时行45千米。自行车每小时行多少千米？（用方程、算术两种方法解）

解方法（1）：设自行车每小时行x千米。

4x+45×4=240

4x=240-180

4x=60

x=15

方法（2）：（240-45×4）÷4=15（千米）

答：自行车每小时行15千米。

解题关键与提示

两车已相遇，全程分成汽车走的与自行车走的两段，两段总长240千米，用方程解较方便。用算术解，可以这样想：全程-汽车走的路程=自行车走的路程，再除以自行车走的时间，即得速度。

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★★例6东西两地相距60千米，甲骑自行车，乙步行，同时从两地出发，相对而行，3小时后相遇。已知甲每小时的速度比乙快10千米，二人每小时的速度各是多少千米？

解甲：（60÷3+10）÷2=15（千米）

乙：15-10=5（千米）

答：甲的速度是每小时15千米，乙的速度是每小时5千米。

解题关键与提示

甲每小时比乙快10千米，为二人“速度之差”，60÷3=20（千米）为二人每小时的“速度之和”，因此，求二人每小时的速度可用“和差问题”的方法解答。

★★例7两个车间要组装7200台电视机，第一车间每天组装250台，第二车间5天的组装量第一车间4天就能完成。现在两个车间同时开工，几天后能完成任务？完成任务时，两车间各组装了多少台？

解7200÷（250＋250×4÷5）

=7200÷（250＋200）

=7200÷450

=16（天）

第一车间：250×16=4000（台）

第二车间：7200-4000=3200（台）

答：16天后能完成任务。完成任务时，第一车间组装了4000台，第二车间组装了3200台。

解题关键与提示

解此题的关键是要求出第二车间每天组装的台数。由“第二车间5天的组装量第一车间4天就能完成”可知250×4=1000（台）既是第一车间4天的工作量，也是第二车间5天的工作量。因此，再用1000÷5就可求出第二车间每天组装的台数。

★★★例8体育场的环形跑道长400米，小刚和小华在跑道的同一起跑线上，同时向相反方向起跑，小刚每分钟跑152米，小华每分钟跑148米。几分钟后他们第3次相遇？

解设x分钟后他们第三次相遇

152x＋148x=400×3

300x=1200

x=4

答：4分钟后他们第3次相遇。

解题关键与提示

两人在环形道上跑步，开始“反向”，后来会转化成“相向”，所以实际上就是相向相遇问题。相遇时两人正好走完一圈。全长400米，所以第3次相遇时两人共跑了（400×3）米。因此可以按照“甲程+乙程=全程”列方程解，也可用算术方法解。

即：（1）400×3÷（152＋148）=4（分）

（2）400÷（152＋148）×3=4（分）

★★★例9a港和b港相距662千米，上午9点一艘“寒山”号快艇从甲港开往乙港，中午12点另一艘“天远”号快艇从乙港开往甲港，到16点两艇相遇，“寒山”号每小时行54千米，“天远”号的速度比“寒山”号快多少千米？（用两种方法解）

解“寒山”号比“天远”号快艇先开时间：

12-9=3（小时）

从“天远”号开出到与“寒山”号相遇的时间：

16-12=4（小时）

方法（1）：“天远”号比“寒山”号快的千米数：

（662-54×3）÷4-54-54=500÷4-54-54

=125-54-54

=17（千米）

方法（2）：设“天远”号每小时比“寒山”号快x千米。以下略。

解题关键与提示

此题中的时间是用“时刻”替代的，只要把时刻转换成时间就简单了。换算的方法是：结束时间-开始时间=经过时间。

★★★例10甲骑摩托车，乙骑自行车，同时从相距126千米的a、b两城出发、相向而行。3小时后，在离两城中点处24千米的地方，甲、乙二人相遇。求甲、乙二人的速度各是多少？

解甲的速度：（126÷2＋24）÷3=29（千米/小时）

乙的速度：（126÷2-24）÷3=13（千米/小时）

答：甲骑摩托车的速度是每小时29千米，乙骑自行车的速度是每小时13千米。

解题关键与提示

此题可用线段图表示：

如上图，中点处就是a、b两城正中间的地方，所以由中点处到a城和b城之间的距离都是（126÷2）千米。甲骑摩托车比乙骑自行车速度快，所以同样行3小时，行驶的路程比乙多，要在离中点24千米处相遇，因此，甲走的路程是（126÷2+24）千米；乙走的路程是（126÷2-24）千米。

抽杀问题（约瑟夫问题）

在各类竞赛中，各类小升初考试中相关的世界名题出现的概率极高，这是由小升初与数学竞赛的特点决定，这特点便是：知识性，趣味性，思想性相结合。

先给大家介绍这一问题的由来。

据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。 然而Josephus 和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

解法

约瑟夫问题可用代数分析来求解，将这个问题扩大好了，假设现在您与m个朋友不幸参与了这个游戏，您要如何保护您的朋友？只要画两个圆圈就可以让自己与朋友免于死亡游戏，这两个圆内圈是排列顺序，而外圈是自杀顺序，如下图所示：

使用程式来求解的话，只要将阵列当作环状来处理就可以了，在陈列中由计数1开始，每找到三个无资料区就填入一个计数，直接计数 来求解的话，只要将阵列当作环状来处理就可以了，在阵列中由计数1开始，每找到三个无资料区就填入一个计数，直而计数达41为止，然后将阵列由索引1开始列出，就可以得知每个位置的自杀顺序，这就是约瑟夫排列，41个人报数3的约瑟夫排列如下所示：

14 36 1 38 15 2 24 30 3 16 34 4 25 17 5 40 31 6 18 26 7 37 19 8 35 27 9 20 32 10 41 21 11 28 39 12 22 33 13 29 23 由上可知，最后一个自杀的是在第31个位置，而倒数第二个自杀的要排在第16个位置，之前的人都死光了，所以他们也就不知道约瑟夫与他的朋友并没有遵守游戏规则了。

小升初常见抽杀考题例举：

例1：把1～999这999个自然数按顺时针的方向依次排列在一个圆圈上（如下图）。从1开始按顺时针的方向，保留1，擦去2；保留3，擦去4……这样每隔一个数擦去一个数，转圈擦下去。问：最后剩下一个数时，剩下的是哪个数？

解析：可通过找规律得出，如果有2n个数，那么转一圈擦去一半，剩下2n-1个数，起始数还是1；再转一圈擦去剩下的一半，又剩下2n-2个数，起始数还是1……转了n圈后，就剩下一个数是1。

如果有2n+d（d＜2n）个数，那么当擦去d个数时，剩下2n个数，此时的第一个数是最后将剩下的数。因为擦去的第d个数是2d，所以2d+1就是最后剩下的整数。999=29+487，最后剩下的一个数是487×2+1=975。

例2：1000个学生坐成一圈，依次编号为1，2，3，…，1000。现在进行1，2报数：1号学生报1后立即离开，2号学生报2并留下，3号学生报1后立即离开，4号学生报2并留下……学生们依次交替报1或2，凡报1的学生立即离开，报2的学生留下，如此进行下去，直到最后还剩下一个人。问：这个学生的编号是几号？

分析：这个问题与上面这题非常相似，只不过本例是报1的离开报2的留下，而上题相当于报1的留下报2的离开，由上题的结果可以推出本例的答案。本例中编号为1的学生离开后还剩999人，此时，如果原来报2的全部改报1并留下，原来报1的全部改报2并离开，那么，问题就与上面这题完全一样了。因为剩下999人时，第1人是2号，所以最后剩下的人的号码应比上题大1，是975＋1=976（号）。

为了加深理解，我们重新解这道题。

解：如果有2n个人，那么报完第1圈后，剩下的是2的倍数号；报完第2圈后，剩下的是22的倍数号……报完第n圈后，剩下的是2n的倍数号，此时，只剩下一人，是2n号。

如果有（2n＋d）（1≤d＜2n）人，那么当有d人退出圈子后还剩下2n人。因为下一个该退出去的是（2d＋1）号，所以此时的第（2d＋1）号相当于2n人时的第1号，而2d号相当于2n人时的第2n号，所以最后剩下的是第2d号。由1000=29＋488知，最后剩下的学生的编号是488×2=976（号）。

例3：有100张的一摞卡片，玲玲拿着它们，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面。再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面。反复这样做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？

分析与解：这100张卡片如果用线串起来，其实还是一个围成一圈的约瑟夫问题。

如果上面几题的解法看不太懂，可学学这题，从最简单的情况开始找规律。

下面从简单的不失题目性质的问题入手，寻找规律。列表如下：

设这一摞卡片的张数为N，观察上表可知：

（1）当N=2a（a=0，1，2，3，…）时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的最后一张，即第2a张；

（2）当N=2a+m（m＜2a）时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第2m张。

取N=100，因为100=26+36，2×36=72，所以剩下这张卡片是原来那一摞卡片的第72张。

总结上题及例1例2：可归纳为两种情况：

留1，杀2类：剩下号＝（总数－小于总数最大的2的次方数）×2＋1

杀1，留2类：剩下号＝（总数－小于总数最大的2的次方数）×2

记住留1要加1，杀1不用加1，总发现有学生在这点上分辨不清。

因此可对照：

例1：为“留1”类，可用：（999－512）×2＋1＝975

例2：为“杀1”类，可用（1000－512）×2＝976

例3：为“杀1”类，可用（100－64）×2＝72

上面的512,64都是小于总数的最大的2的次方数。

再看一道经变化的逆推题：

例4：如下左图,七枚棋子围成一个圆圈,从①开始,每隔一个取一个,依次取走①、③、⑤、⑦、④、②,最后剩下⑥.二十枚棋子围成一个圆圈(如右图),从 开始,每隔一个取一个,最后将只剩下一枚棋子是⑥.

实际上例就是抽杀问题的“杀1留2类”，右图可假设先从1开始取起，那根据规律留下的为：（20－16）×2＝8号，想留下6号得逆时针倒推2枚棋子。则最后结果为19号开始。

试试我们玩的扑克牌：

例5：有两副扑克牌，每副牌的排列顺序均按头两张是大王、小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列。每种花色的牌又按1，2，3，…，J,Q,K顺序排列。某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，…….如此进行下去，直至最后只剩下一张牌。试问所剩的这张牌是哪一张？

解：注意到：如果手中只有64张牌，按这样规则丢牌，那么后剩下的应该是第64张牌。现在手中有108张牌，多出108－64＝44张，我们只需按此规定丢掉44张后，把88张牌放在手中牌的最底层时，这时手中牌恰为64张。这样，再丢下去，最后留下的就是原牌顺序的第88张，接下来的难点就涉及周期问题了，是哪张牌呢？先去掉一副，再去掉黑桃、红桃各十三张，即为88-54-2×26＝6。按照花色排列应为方块6。

来个再难点的三个数一组的题：

例6：连续自然数1，2，3，…，8899排成一列。从1开始，留1划掉2和3，留4划掉5和6……这么转圈划下去，最后留下的是哪个数？

可仿例1与例2。这道题留1划2和3，每次留下三分之一，显然与3的N次方有关了。当有3n个数时，留下的数是1号。

小于8899的形如3n的数是38=6561，故从1号开始按规则划数，划了8899-6561=2338（个）数后，还剩下6561个数。这划去的数中的最后一个2338÷2×3=3507，故最后留下6561个数中的第一个就是3508。

这道题也可归纳出一个规律：“留1，杀2,3”型

留下的这个数为＝（总数－小于总数的最大的3的次方数）÷2×3＋1

考一考：连续自然数1，2，3，…，8899排成一列。从1开始，划掉1和2，留下3，划掉4和5留下6……这么转圈划下去，最后留下的是哪个数？

这道题可定为“杀1，2留3”型，其中的规律与答案就留给你自己去研究了。另外在最前面约瑟夫的介绍中的类型可说成为“留1、2杀3型”你探索一下这道题有什么规律。

最后见识一下隐形抽杀问题：

例7：在纸上写着一列自然数1，2，……，99，100。一次操作是指将这列数中最前面的两个数划去，然后把这两个数的和写在数列的最后面，例如一次操作后得到3，4，…，99，100，3；而两次操作后得到5，6，…，99，100，3，7。这样不断进行下去，最后将只剩下一个数。问：最后剩下的数是多少？最初的100个数连同后面写下的数，纸上出现的所有数的总和是多少？

解析：在每次操作过程中，数列中添加的数等于划去的两个数之和，因此数列中所有数的和保持不变，于是当最后只剩下一个数时，它就是原来的100个数之和，为1+2+…+99+100=5050。

当数列中有2n个数时，经过n次操作后将被全部划去，同时出现n个新数，并且这n个新数之和等于原来2n个数的和。这提示我们去考虑数列包含2，2 ×2，2 ×2 ×2，…项的时刻。

6个2连乘是64，当经过100-64=36次操作后，原来的数1，2，…，71，36×2=72被划去，划去的数的和是1+2+…+71+72=2628。此时数列中共有64个数，并且这64个数的和与原来100个数的和相等，是5050。

从该时刻起，依次再经过32，16，8，4，2，1次操作后，纸上出现的新数的个数依次为32，16，8，4，2，1。根据前面的分析，每一轮出现的所有新数的和都是5050。从数列中有64个数变为只有1个数，操作共进行了6轮。

综上所述，纸上写出的所有数之和为2628+5050+5050×6=37978。学会了抽杀问题的思路再来理解这题的设计就比较容易了。

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